lib/examples/aa_sample.lyx

   1 #LyX 1.1 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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   5 \usepackage{graphicx}
   6 %
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  25 \papercolumns 2
  26 \papersides 2
  27 \paperpagestyle default
  28
  29 \layout Title
  30
  31 Hydrodynamics of giant planet formation
  32 \layout Subtitle
  33
  34 I.
  35  Overviewing the
  36 \begin_inset Formula \( \kappa  \)
  37 \end_inset
  38
  39 -mechanism
  40 \layout Author
  41
  42 G.
  43  Wuchterl
  44 \latex latex
  45
  46 \backslash
  47 inst{1}
  48 \backslash
  49 and
  50 \newline
  51
  52 \latex default
  53 C.
  54  Ptolemy
  55 \latex latex
  56
  57 \backslash
  58 inst{2}
  59 \backslash
  60 fnmsep
  61 \begin_float footnote
  62 \layout Standard
  63
  64 Just to show the usage of the elements in the author field
  65 \end_float
  66
  67 \layout Offprint
  68
  69 G.
  70  Wuchterl
  71 \layout Address
  72
  73 Institute for Astronomy (IfA), University of Vienna, T\i \"{u}
  74 rkenschanzstrasse
  75  17, A-1180 Vienna
  76 \newline
  77
  78 \latex latex
  79
  80 \backslash
  81 email{wuchterl@amok.ast.univie.ac.at}
  82 \backslash
  83 and
  84 \newline
  85
  86 \latex default
  87 University of Alexandria, Department of Geography, ...
  88 \newline
  89
  90 \latex latex
  91
  92 \backslash
  93 email{c.ptolemy@hipparch.uheaven.space}
  94 \latex default
  95
  96 \begin_float footnote
  97 \layout Standard
  98
  99 The university of heaven temporarily does not accept e-mails
 100 \end_float
 101
 102 \layout Date
 103
 104 Received September 15, 1996; accepted March 16, 1997
 105 \layout Abstract
 106
 107 To investigate the physical nature of the `nuc\SpecialChar \-
 108 leated instability' of proto
 109  giant planets (Mizuno
 110 \begin_inset LatexCommand \cite{mizuno}
 111
 112 \end_inset
 113
 114 ), the stability of layers in static, radiative gas spheres is analysed
 115  on the basis of Baker's
 116 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 117
 118 \end_inset
 119
 120  standard one-zone model.
 121  It is shown that stability depends only upon the equations of state, the
 122  opacities and the local thermodynamic state in the layer.
 123  Stability and instability can therefore be expressed in the form of stability
 124  equations of state which are universal for a given composition.
 125  The stability equations of state are calculated for solar composition and
 126  are displayed in the domain
 127 \begin_inset Formula \( -14\leq \lg \rho /[\mathrm{g}\, \mathrm{cm}^{-3}]\leq 0 \)
 128 \end_inset
 129
 130 ,
 131 \begin_inset Formula \( 8.8\leq \lg e/[\mathrm{erg}\, \mathrm{g}^{-1}]\leq 17.7 \)
 132 \end_inset
 133
 134 .
 135  These displays may be used to determine the one-zone stability of layers
 136  in stellar or planetary structure models by directly reading off the value
 137  of the stability equations for the thermodynamic state of these layers,
 138  specified by state quantities as density
 139 \begin_inset Formula \( \rho  \)
 140 \end_inset
 141
 142 , temperature
 143 \begin_inset Formula \( T \)
 144 \end_inset
 145
 146  or specific internal energy
 147 \begin_inset Formula \( e \)
 148 \end_inset
 149
 150 .
 151  Regions of instability in the
 152 \begin_inset Formula \( (\rho ,e) \)
 153 \end_inset
 154
 155 -plane are described and related to the underlying microphysical processes.
 156  Vibrational instability is found to be a common phenomenon at temperatures
 157  lower than the second He ionisation zone.
 158  The
 159 \begin_inset Formula \( \kappa  \)
 160 \end_inset
 161
 162 -mechanism is widespread under `cool' conditions.
 163 \latex latex
 164
 165 \newline
 166
 167 \backslash
 168 keywords{giant planet formation --
 169 \backslash
 170 (
 171 \backslash
 172 kappa
 173 \backslash
 174 )-mechanism -- stability of gas spheres }
 175 \latex default
 176
 177 \layout Section
 178
 179 Introduction
 180 \layout Standard
 181
 182 In the
 183 \emph on
 184 nucleated instability
 185 \latex latex
 186
 187 \backslash
 188 /{}
 189 \emph default
 190 \latex default
 191  (also called core instability) hypothesis of giant planet formation, a
 192  critical mass for static core envelope protoplanets has been found.
 193  Mizuno (
 194 \begin_inset LatexCommand \cite{mizuno}
 195
 196 \end_inset
 197
 198 ) determined the critical mass of the core to be about
 199 \begin_inset Formula \( 12\, M_{\oplus } \)
 200 \end_inset
 201
 202  (
 203 \begin_inset Formula \( M_{\oplus }=5.975\, 10^{27}\, \mathrm{g} \)
 204 \end_inset
 205
 206  is the Earth mass), which is independent of the outer boundary conditions
 207  and therefore independent of the location in the solar nebula.
 208  This critical value for the core mass corresponds closely to the cores
 209  of today's giant planets.
 210 \layout Standard
 211
 212 Although no hydrodynamical study has been available many workers conjectured
 213  that a collapse or rapid contraction will ensue after accumulating the
 214  critical mass.
 215  The main motivation for this article is to investigate the stability of
 216  the static envelope at the critical mass.
 217  With this aim the local, linear stability of static radiative gas spheres
 218  is investigated on the basis of Baker's (
 219 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 220
 221 \end_inset
 222
 223 ) standard one-zone model.
 224 \layout Standard
 225
 226 Phenomena similar to the ones described above for giant planet formation
 227  have been found in hydrodynamical models concerning star formation where
 228  protostellar cores explode (Tscharnuter
 229 \begin_inset LatexCommand \cite{tscharnuter}
 230
 231 \end_inset
 232
 233 , Balluch
 234 \begin_inset LatexCommand \cite{balluch}
 235
 236 \end_inset
 237
 238 ), whereas earlier studies found quasi-steady collapse flows.
 239  The similarities in the (micro)physics, i.e., constitutive relations of protostel
 240 lar cores and protogiant planets serve as a further motivation for this
 241  study.
 242 \layout Section
 243
 244 Baker's standard one-zone model
 245 \layout Standard
 246
 247 \begin_float wide-fig
 248 \layout Caption
 249
 250 Adiabatic exponent
 251 \begin_inset Formula \( \Gamma _{1} \)
 252 \end_inset
 253
 254 .
 255
 256 \begin_inset Formula \( \Gamma _{1} \)
 257 \end_inset
 258
 259  is plotted as a function of
 260 \begin_inset Formula \( \lg  \)
 261 \end_inset
 262
 263  internal energy
 264 \begin_inset Formula \( [\mathrm{erg}\, \mathrm{g}^{-1}] \)
 265 \end_inset
 266
 267  and
 268 \begin_inset Formula \( \lg  \)
 269 \end_inset
 270
 271  density
 272 \begin_inset Formula \( [\mathrm{g}\, \mathrm{cm}^{-3}] \)
 273 \end_inset
 274
 275
 276 \layout Standard
 277
 278
 279 \begin_inset LatexCommand \label{FigGam}
 280
 281 \end_inset
 282
 283
 284 \end_float
 285  In this section the one-zone model of Baker (
 286 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 287
 288 \end_inset
 289
 290 ), originally used to study the Cephe\i \"{\i}
 291 d pulsation mechanism, will be briefly
 292  reviewed.
 293  The resulting stability criteria will be rewritten in terms of local state
 294  variables, local timescales and constitutive relations.
 295 \layout Standard
 296
 297 Baker (
 298 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 299
 300 \end_inset
 301
 302 ) investigates the stability of thin layers in self-gravitating, spherical
 303  gas clouds with the following properties:
 304 \layout Itemize
 305
 306 hydrostatic equilibrium,
 307 \layout Itemize
 308
 309 thermal equilibrium,
 310 \layout Itemize
 311
 312 energy transport by grey radiation diffusion.
 313
 314 \layout Standard
 315 \noindent
 316 For the one-zone-model Baker obtains necessary conditions for dynamical,
 317  secular and vibrational (or pulsational) stability (Eqs.
 318 \latex latex
 319
 320 \backslash
 321
 322 \latex default
 323 (34a,
 324 \latex latex
 325
 326 \backslash
 327 ,
 328 \latex default
 329 b,
 330 \latex latex
 331
 332 \backslash
 333 ,
 334 \latex default
 335 c) in Baker
 336 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 337
 338 \end_inset
 339
 340 ).
 341  Using Baker's notation:
 342 \layout Standard
 343 \align left
 344
 345 \begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
 346 M_{r} &  & \textrm{mass internal to the radius }r\\
 347 m &  & \textrm{mass of the zone}\\
 348 r_{0} &  & \textrm{unperturbed zone radius}\\
 349 \rho _{0} &  & \textrm{unperturbed density in the zone}\\
 350 T_{0} &  & \textrm{unperturbed temperature in the zone}\\
 351 L_{r0} &  & \textrm{unperturbed luminosity}\\
 352 E_{\textrm{th}} &  & \textrm{thermal energy of the zone}
 353 \end{eqnarray*}
 354
 355 \end_inset
 356
 357
 358 \layout Standard
 359 \noindent
 360 and with the definitions of the
 361 \emph on
 362 local cooling time
 363 \latex latex
 364
 365 \backslash
 366 /{}
 367 \emph default
 368 \latex default
 369  (see Fig.\SpecialChar ~
 370
 371 \begin_inset LatexCommand \ref{FigGam}
 372
 373 \end_inset
 374
 375 )
 376 \begin_inset Formula \begin{equation}
 377 \tau _{\mathrm{co}}=\frac{E_{\mathrm{th}}}{L_{r0}}\, ,
 378 \end{equation}
 379
 380 \end_inset
 381
 382  and the
 383 \emph on
 384 local free-fall time
 385 \emph default
 386
 387 \begin_inset Formula \begin{equation}
 388 \tau _{\mathrm{ff}}=\sqrt{\frac{3\pi }{32G}\frac{4\pi r_{0}^{3}}{3M_{\mathrm{r}}}}\, ,
 389 \end{equation}
 390
 391 \end_inset
 392
 393  Baker's
 394 \begin_inset Formula \( K \)
 395 \end_inset
 396
 397  and
 398 \begin_inset Formula \( \sigma _{0} \)
 399 \end_inset
 400
 401  have the following form:
 402 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 403 \sigma _{0} & = & \frac{\pi }{\sqrt{8}}\frac{1}{\tau _{\mathrm{ff}}}\\
 404 K & = & \frac{\sqrt{32}}{\pi }\frac{1}{\delta }\frac{\tau _{\mathrm{ff}}}{\tau _{\mathrm{co}}}\, ;
 405 \end{eqnarray}
 406
 407 \end_inset
 408
 409  where
 410 \begin_inset Formula \( E_{\mathrm{th}}\approx m(P_{0}/{\rho _{0}}) \)
 411 \end_inset
 412
 413  has been used and
 414 \begin_inset Formula \begin{equation}
 415 \begin{array}{l}
 416 \delta =-\left( \frac{\partial \ln \rho }{\partial \ln T}\right) _{P}\\
 417 e=mc^{2}
 418 \end{array}
 419 \end{equation}
 420
 421 \end_inset
 422
 423  is a thermodynamical quantity which is of order
 424 \begin_inset Formula \( 1 \)
 425 \end_inset
 426
 427  and equal to
 428 \begin_inset Formula \( 1 \)
 429 \end_inset
 430
 431  for nonreacting mixtures of classical perfect gases.
 432  The physical meaning of
 433 \begin_inset Formula \( \sigma _{0} \)
 434 \end_inset
 435
 436  and
 437 \begin_inset Formula \( K \)
 438 \end_inset
 439
 440  is clearly visible in the equations above.
 441
 442 \begin_inset Formula \( \sigma _{0} \)
 443 \end_inset
 444
 445  represents a frequency of the order one per free-fall time.
 446
 447 \begin_inset Formula \( K \)
 448 \end_inset
 449
 450  is proportional to the ratio of the free-fall time and the cooling time.
 451  Substituting into Baker's criteria, using thermodynamic identities and
 452  definitions of thermodynamic quantities,
 453 \begin_inset Formula \[
 454 \Gamma _{1}=\left( \frac{\partial \ln P}{\partial \ln \rho }\right) _{S}\, ,\; \chi ^{}_{\rho }=\left( \frac{\partial \ln P}{\partial \ln \rho }\right) _{T}\, ,\; \kappa ^{}_{P}=\left( \frac{\partial \ln \kappa }{\partial \ln P}\right) _{T}\]
 455
 456 \end_inset
 457
 458
 459 \begin_inset Formula \[
 460 \nabla _{\mathrm{ad}}=\left( \frac{\partial \ln T}{\partial \ln P}\right) _{S}\, ,\; \chi ^{}_{T}=\left( \frac{\partial \ln P}{\partial \ln T}\right) _{\rho }\, ,\; \kappa ^{}_{T}=\left( \frac{\partial \ln \kappa }{\partial \ln T}\right) _{T}\]
 461
 462 \end_inset
 463
 464  one obtains, after some pages of algebra, the conditions for
 465 \emph on
 466 stability
 467 \latex latex
 468
 469 \backslash
 470 /{}
 471 \emph default
 472 \latex default
 473  given below:
 474 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 475 \frac{\pi ^{2}}{8}\frac{1}{\tau _{\mathrm{ff}}^{2}}(3\Gamma _{1}-4) & > & 0\label{ZSDynSta} \\
 476 \frac{\pi ^{2}}{\tau _{\mathrm{co}}\tau _{\mathrm{ff}}^{2}}\Gamma _{1}\nabla _{\mathrm{ad}}\left[ \frac{1-3/4\chi ^{}_{\rho }}{\chi ^{}_{T}}(\kappa ^{}_{T}-4)+\kappa ^{}_{P}+1\right]  & > & 0\label{ZSSecSta} \\
 477 \frac{\pi ^{2}}{4}\frac{3}{\tau _{\mathrm{co}}\tau _{\mathrm{ff}}^{2}}\Gamma _{1}^{2}\, \nabla _{\mathrm{ad}}\left[ 4\nabla _{\mathrm{ad}}-(\nabla _{\mathrm{ad}}\kappa ^{}_{T}+\kappa ^{}_{P})-\frac{4}{3\Gamma _{1}}\right]  & > & 0\label{ZSVibSta}
 478 \end{eqnarray}
 479
 480 \end_inset
 481
 482  For a physical discussion of the stability criteria see Baker (
 483 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 484
 485 \end_inset
 486
 487 ) or Cox (
 488 \begin_inset LatexCommand \cite{cox}
 489
 490 \end_inset
 491
 492 ).
 493 \layout Standard
 494
 495 We observe that these criteria for dynamical, secular and vibrational stability,
 496  respectively, can be factorized into
 497 \layout Enumerate
 498
 499 a factor containing local timescales only,
 500 \layout Enumerate
 501
 502 a factor containing only constitutive relations and their derivatives.
 503
 504 \layout Standard
 505
 506 The first factors, depending on only timescales, are positive by definition.
 507  The signs of the left hand sides of the inequalities\SpecialChar ~
 508 (
 509 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSDynSta}
 510
 511 \end_inset
 512
 513 ), (
 514 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSSecSta}
 515
 516 \end_inset
 517
 518 ) and (
 519 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSVibSta}
 520
 521 \end_inset
 522
 523 ) therefore depend exclusively on the second factors containing the constitutive
 524  relations.
 525  Since they depend only on state variables, the stability criteria themselves
 526  are
 527 \emph on
 528  functions of the thermodynamic state in the local zone
 529 \emph default
 530 .
 531  The one-zone stability can therefore be determined from a simple equation
 532  of state, given for example, as a function of density and temperature.
 533  Once the microphysics, i.e.
 534 \latex latex
 535
 536 \backslash
 537
 538 \latex default
 539 the thermodynamics and opacities (see Table\SpecialChar ~
 540
 541 \begin_inset LatexCommand \ref{KapSou}
 542
 543 \end_inset
 544
 545 ), are specified (in practice by specifying a chemical composition) the
 546  one-zone stability can be inferred if the thermodynamic state is specified.
 547  The zone -- or in other words the layer -- will be stable or unstable in
 548  whatever object it is imbedded as long as it satisfies the one-zone-model
 549  assumptions.
 550  Only the specific growth rates (depending upon the time scales) will be
 551  different for layers in different objects.
 552 \layout Standard
 553
 554 \begin_float tab
 555 \layout Caption
 556
 557
 558 \begin_inset LatexCommand \label{KapSou}
 559
 560 \end_inset
 561
 562 Opacity sources
 563 \layout Standard
 564
 565
 566 \begin_inset  Tabular
 567 <lyxtabular version="2" rows="4" columns="2">
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 573 \begin_inset Text
 574
 575 \layout Standard
 576
 577 Source
 578 \end_inset
 579 </cell>
 580 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 581 \begin_inset Text
 582
 583 \layout Standard
 584
 585
 586 \begin_inset Formula \( T/[\textrm{K}] \)
 587 \end_inset
 588
 589
 590 \end_inset
 591 </cell>
 592 </row>
 593 <row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
 594 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 595 \begin_inset Text
 596
 597 \layout Standard
 598
 599 Yorke 1979, Yorke 1980a
 600 \end_inset
 601 </cell>
 602 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 603 \begin_inset Text
 604
 605 \layout Standard
 606
 607
 608 \begin_inset Formula \( \leq 1700^{\textrm{a}} \)
 609 \end_inset
 610
 611
 612 \end_inset
 613 </cell>
 614 </row>
 615 <row topline="false" bottomline="false" newpage="false">
 616 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 617 \begin_inset Text
 618
 619 \layout Standard
 620
 621 Krügel 1971
 622 \end_inset
 623 </cell>
 624 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 625 \begin_inset Text
 626
 627 \layout Standard
 628
 629
 630 \begin_inset Formula \( 1700\leq T\leq 5000 \)
 631 \end_inset
 632
 633
 634 \end_inset
 635 </cell>
 636 </row>
 637 <row topline="false" bottomline="true" newpage="false">
 638 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 639 \begin_inset Text
 640
 641 \layout Standard
 642
 643 Cox & Stewart 1969
 644 \end_inset
 645 </cell>
 646 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 647 \begin_inset Text
 648
 649 \layout Standard
 650
 651
 652 \begin_inset Formula \( 5000\leq  \)
 653 \end_inset
 654
 655
 656 \end_inset
 657 </cell>
 658 </row>
 659 </lyxtabular>
 660
 661 \end_inset
 662
 663
 664 \layout Standard
 665
 666
 667 \begin_inset Formula \( ^{\textrm{a}} \)
 668 \end_inset
 669
 670 This is footnote a
 671 \end_float
 672  We will now write down the sign (and therefore stability) determining parts
 673  of the left-hand sides of the inequalities (
 674 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSDynSta}
 675
 676 \end_inset
 677
 678 ), (
 679 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSSecSta}
 680
 681 \end_inset
 682
 683 ) and (
 684 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSVibSta}
 685
 686 \end_inset
 687
 688 ) and thereby obtain
 689 \emph on
 690 stability equations of state
 691 \emph default
 692 .
 693 \layout Standard
 694
 695 The sign determining part of inequality\SpecialChar ~
 696 (
 697 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSDynSta}
 698
 699 \end_inset
 700
 701 ) is
 702 \begin_inset Formula \( 3\Gamma _{1}-4 \)
 703 \end_inset
 704
 705  and it reduces to the criterion for dynamical stability
 706 \begin_inset Formula \begin{equation}
 707 \Gamma _{1}>\frac{4}{3}\, \cdot
 708 \end{equation}
 709
 710 \end_inset
 711
 712  Stability of the thermodynamical equilibrium demands
 713 \begin_inset Formula \begin{equation}
 714 \chi ^{}_{\rho }>0,\; \; c_{v}>0\, ,
 715 \end{equation}
 716
 717 \end_inset
 718
 719  and
 720 \begin_inset Formula \begin{equation}
 721 \chi ^{}_{T}>0
 722 \end{equation}
 723
 724 \end_inset
 725
 726  holds for a wide range of physical situations.
 727  With
 728 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 729 \Gamma _{3}-1=\frac{P}{\rho T}\frac{\chi ^{}_{T}}{c_{v}} & > & 0\\
 730 \Gamma _{1}=\chi _{\rho }^{}+\chi _{T}^{}(\Gamma _{3}-1) & > & 0\\
 731 \nabla _{\mathrm{ad}}=\frac{\Gamma _{3}-1}{\Gamma _{1}} & > & 0
 732 \end{eqnarray}
 733
 734 \end_inset
 735
 736  we find the sign determining terms in inequalities\SpecialChar ~
 737 (
 738 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSSecSta}
 739
 740 \end_inset
 741
 742 ) and (
 743 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSVibSta}
 744
 745 \end_inset
 746
 747 ) respectively and obtain the following form of the criteria for dynamical,
 748  secular and vibrational
 749 \emph on
 750 stability
 751 \emph default
 752 , respectively:
 753 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 754 3\Gamma _{1}-4=:S_{\mathrm{dyn}}> & 0 & \label{DynSta} \\
 755 \frac{1-3/4\chi ^{}_{\rho }}{\chi ^{}_{T}}(\kappa ^{}_{T}-4)+\kappa ^{}_{P}+1=:S_{\mathrm{sec}}> & 0 & \label{SecSta} \\
 756 4\nabla _{\mathrm{ad}}-(\nabla _{\mathrm{ad}}\kappa ^{}_{T}+\kappa ^{}_{P})-\frac{4}{3\Gamma _{1}}=:S_{\mathrm{vib}}> & 0\, . & \label{VibSta}
 757 \end{eqnarray}
 758
 759 \end_inset
 760
 761  The constitutive relations are to be evaluated for the unperturbed thermodynami
 762 c state (say
 763 \begin_inset Formula \( (\rho _{0},T_{0}) \)
 764 \end_inset
 765
 766 ) of the zone.
 767  We see that the one-zone stability of the layer depends only on the constitutiv
 768 e relations
 769 \begin_inset Formula \( \Gamma _{1} \)
 770 \end_inset
 771
 772 ,
 773 \begin_inset Formula \( \nabla _{\mathrm{ad}} \)
 774 \end_inset
 775
 776 ,
 777 \begin_inset Formula \( \chi _{T}^{},\, \chi _{\rho }^{} \)
 778 \end_inset
 779
 780 ,
 781 \begin_inset Formula \( \kappa _{P}^{},\, \kappa _{T}^{} \)
 782 \end_inset
 783
 784 .
 785  These depend only on the unperturbed thermodynamical state of the layer.
 786  Therefore the above relations define the one-zone-stability equations of
 787  state
 788 \begin_inset Formula \( S_{\mathrm{dyn}},\, S_{\mathrm{sec}} \)
 789 \end_inset
 790
 791  and
 792 \begin_inset Formula \( S_{\mathrm{vib}} \)
 793 \end_inset
 794
 795 .
 796  See Fig.\SpecialChar ~
 797
 798 \begin_inset LatexCommand \ref{FigVibStab}
 799
 800 \end_inset
 801
 802  for a picture of
 803 \begin_inset Formula \( S_{\mathrm{vib}} \)
 804 \end_inset
 805
 806 .
 807  Regions of secular instability are listed in Table\SpecialChar ~
 808 1.
 809 \layout Standard
 810
 811 \begin_float fig
 812 \layout Caption
 813
 814 Vibrational stability equation of state
 815 \begin_inset Formula \( S_{\mathrm{vib}}(\lg e,\lg \rho ) \)
 816 \end_inset
 817
 818 .
 819
 820 \begin_inset Formula \( >0 \)
 821 \end_inset
 822
 823  means vibrational stability
 824 \layout Standard
 825
 826
 827 \begin_inset LatexCommand \label{FigVibStab}
 828
 829 \end_inset
 830
 831
 832 \end_float
 833 \layout Section
 834
 835 Conclusions
 836 \layout Enumerate
 837
 838 The conditions for the stability of static, radiative layers in gas spheres,
 839  as described by Baker's (
 840 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 841
 842 \end_inset
 843
 844 ) standard one-zone model, can be expressed as stability equations of state.
 845  These stability equations of state depend only on the local thermodynamic
 846  state of the layer.
 847
 848 \layout Enumerate
 849
 850 If the constitutive relations -- equations of state and Rosseland mean opacities
 851  -- are specified, the stability equations of state can be evaluated without
 852  specifying properties of the layer.
 853
 854 \layout Enumerate
 855
 856 For solar composition gas the
 857 \begin_inset Formula \( \kappa  \)
 858 \end_inset
 859
 860 -mechanism is working in the regions of the ice and dust features in the
 861  opacities, the
 862 \begin_inset Formula \( \mathrm{H}_{2} \)
 863 \end_inset
 864
 865  dissociation and the combined H, first He ionization zone, as indicated
 866  by vibrational instability.
 867  These regions of instability are much larger in extent and degree of instabilit
 868 y than the second He ionization zone that drives the Cephe\i \"{\i}
 869 d pulsations.
 870
 871 \layout Acknowledgement
 872
 873 Part of this work was supported by the German
 874 \emph on
 875 Deut\SpecialChar \-
 876 sche For\SpecialChar \-
 877 schungs\SpecialChar \-
 878 ge\SpecialChar \-
 879 mein\SpecialChar \-
 880 schaft, DFG
 881 \latex latex
 882
 883 \backslash
 884 /{}
 885 \emph default
 886 \latex default
 887  project number Ts\SpecialChar ~
 888 17/2--1.
 889
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