lib/examples/aa_sample.lyx

   1 #LyX 1.6.0svn created this file. For more info see http://www.lyx.org/
   2 \lyxformat 341
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   5 \textclass aa
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   8 %
   9 \end_preamble
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  42 \author ""
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  44
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  46
  47 \begin_layout Title
  48 Hydrodynamics of giant planet formation
  49 \end_layout
  50
  51 \begin_layout Subtitle
  52 I.
  53  Overviewing the
  54 \begin_inset Formula $\kappa$
  55 \end_inset
  56
  57 -mechanism
  58 \end_layout
  59
  60 \begin_layout Author
  61 G.
  62  Wuchterl
  63 \begin_inset ERT
  64 status collapsed
  65
  66 \begin_layout Plain Layout
  67
  68
  69 \backslash
  70 inst{1}
  71 \backslash
  72 and
  73 \end_layout
  74
  75 \begin_layout Plain Layout
  76
  77
  78 \end_layout
  79
  80 \end_inset
  81
  82 C.
  83  Ptolemy
  84 \begin_inset ERT
  85 status collapsed
  86
  87 \begin_layout Plain Layout
  88
  89
  90 \backslash
  91 inst{2}
  92 \backslash
  93 fnmsep
  94 \end_layout
  95
  96 \end_inset
  97
  98
  99 \begin_inset Foot
 100 status collapsed
 101
 102 \begin_layout Plain Layout
 103 Just to show the usage of the elements in the author field
 104 \end_layout
 105
 106 \end_inset
 107
 108
 109 \end_layout
 110
 111 \begin_layout Offprint
 112 G.
 113  Wuchterl
 114 \end_layout
 115
 116 \begin_layout Address
 117 Institute for Astronomy (IfA), University of Vienna, Türkenschanzstrasse
 118  17, A-1180 Vienna
 119 \begin_inset Newline newline
 120 \end_inset
 121
 122
 123 \begin_inset ERT
 124 status collapsed
 125
 126 \begin_layout Plain Layout
 127
 128
 129 \backslash
 130 email{wuchterl@amok.ast.univie.ac.at}
 131 \backslash
 132 and
 133 \end_layout
 134
 135 \begin_layout Plain Layout
 136
 137 \end_layout
 138
 139 \end_inset
 140
 141 University of Alexandria, Department of Geography, ...
 142 \begin_inset Newline newline
 143 \end_inset
 144
 145
 146 \begin_inset ERT
 147 status collapsed
 148
 149 \begin_layout Plain Layout
 150
 151
 152 \backslash
 153 email{c.ptolemy@hipparch.uheaven.space}
 154 \end_layout
 155
 156 \end_inset
 157
 158
 159 \begin_inset Foot
 160 status collapsed
 161
 162 \begin_layout Plain Layout
 163 The university of heaven temporarily does not accept e-mails
 164 \end_layout
 165
 166 \end_inset
 167
 168
 169 \end_layout
 170
 171 \begin_layout Date
 172 Received September 15, 1996; accepted March 16, 1997
 173 \end_layout
 174
 175 \begin_layout Abstract
 176 To investigate the physical nature of the `nuc\SpecialChar \-
 177 leated instability' of proto
 178  giant planets (Mizuno
 179 \begin_inset CommandInset citation
 180 LatexCommand cite
 181 key "mizuno"
 182
 183 \end_inset
 184
 185 ), the stability of layers in static, radiative gas spheres is analysed
 186  on the basis of Baker's
 187 \begin_inset CommandInset citation
 188 LatexCommand cite
 189 key "baker"
 190
 191 \end_inset
 192
 193  standard one-zone model.
 194  It is shown that stability depends only upon the equations of state, the
 195  opacities and the local thermodynamic state in the layer.
 196  Stability and instability can therefore be expressed in the form of stability
 197  equations of state which are universal for a given composition.
 198  The stability equations of state are calculated for solar composition and
 199  are displayed in the domain
 200 \begin_inset Formula $-14\leq\lg\rho/[\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}]\leq0$
 201 \end_inset
 202
 203 ,
 204 \begin_inset Formula $8.8\leq\lg e/[\mathrm{erg}\,\mathrm{g}^{-1}]\leq17.7$
 205 \end_inset
 206
 207 .
 208  These displays may be used to determine the one-zone stability of layers
 209  in stellar or planetary structure models by directly reading off the value
 210  of the stability equations for the thermodynamic state of these layers,
 211  specified by state quantities as density
 212 \begin_inset Formula $\rho$
 213 \end_inset
 214
 215 , temperature
 216 \begin_inset Formula $T$
 217 \end_inset
 218
 219  or specific internal energy
 220 \begin_inset Formula $e$
 221 \end_inset
 222
 223 .
 224  Regions of instability in the
 225 \begin_inset Formula $(\rho,e)$
 226 \end_inset
 227
 228 -plane are described and related to the underlying microphysical processes.
 229  Vibrational instability is found to be a common phenomenon at temperatures
 230  lower than the second He ionisation zone.
 231  The
 232 \begin_inset Formula $\kappa$
 233 \end_inset
 234
 235 -mechanism is widespread under `cool' conditions.
 236 \begin_inset ERT
 237 status collapsed
 238
 239 \begin_layout Plain Layout
 240
 241 \end_layout
 242
 243 \begin_layout Plain Layout
 244
 245
 246 \backslash
 247 keywords{giant planet formation --
 248 \backslash
 249 (
 250 \backslash
 251 kappa
 252 \backslash
 253 )-mechanism -- stability of gas spheres }
 254 \end_layout
 255
 256 \end_inset
 257
 258
 259 \end_layout
 260
 261 \begin_layout Section
 262 Introduction
 263 \end_layout
 264
 265 \begin_layout Standard
 266 In the
 267 \emph on
 268 nucleated instability
 269 \begin_inset ERT
 270 status collapsed
 271
 272 \begin_layout Plain Layout
 273
 274
 275 \backslash
 276 /{}
 277 \end_layout
 278
 279 \end_inset
 280
 281
 282 \emph default
 283  (also called core instability) hypothesis of giant planet formation, a
 284  critical mass for static core envelope protoplanets has been found.
 285  Mizuno (
 286 \begin_inset CommandInset citation
 287 LatexCommand cite
 288 key "mizuno"
 289
 290 \end_inset
 291
 292 ) determined the critical mass of the core to be about
 293 \begin_inset Formula $12\, M_{\oplus}$
 294 \end_inset
 295
 296  (
 297 \begin_inset Formula $M_{\oplus}=5.975\,10^{27}\,\mathrm{g}$
 298 \end_inset
 299
 300  is the Earth mass), which is independent of the outer boundary conditions
 301  and therefore independent of the location in the solar nebula.
 302  This critical value for the core mass corresponds closely to the cores
 303  of today's giant planets.
 304 \end_layout
 305
 306 \begin_layout Standard
 307 Although no hydrodynamical study has been available many workers conjectured
 308  that a collapse or rapid contraction will ensue after accumulating the
 309  critical mass.
 310  The main motivation for this article is to investigate the stability of
 311  the static envelope at the critical mass.
 312  With this aim the local, linear stability of static radiative gas spheres
 313  is investigated on the basis of Baker's (
 314 \begin_inset CommandInset citation
 315 LatexCommand cite
 316 key "baker"
 317
 318 \end_inset
 319
 320 ) standard one-zone model.
 321 \end_layout
 322
 323 \begin_layout Standard
 324 Phenomena similar to the ones described above for giant planet formation
 325  have been found in hydrodynamical models concerning star formation where
 326  protostellar cores explode (Tscharnuter
 327 \begin_inset CommandInset citation
 328 LatexCommand cite
 329 key "tscharnuter"
 330
 331 \end_inset
 332
 333 , Balluch
 334 \begin_inset CommandInset citation
 335 LatexCommand cite
 336 key "balluch"
 337
 338 \end_inset
 339
 340 ), whereas earlier studies found quasi-steady collapse flows.
 341  The similarities in the (micro)physics, i.e., constitutive relations of protostel
 342 lar cores and protogiant planets serve as a further motivation for this
 343  study.
 344 \end_layout
 345
 346 \begin_layout Section
 347 Baker's standard one-zone model
 348 \end_layout
 349
 350 \begin_layout Standard
 351 \begin_inset Float figure
 352 wide true
 353 sideways false
 354 status open
 355
 356 \begin_layout Plain Layout
 357 \begin_inset Caption
 358
 359 \begin_layout Plain Layout
 360 Adiabatic exponent
 361 \begin_inset Formula $\Gamma_{1}$
 362 \end_inset
 363
 364 .
 365
 366 \begin_inset Formula $\Gamma_{1}$
 367 \end_inset
 368
 369  is plotted as a function of
 370 \begin_inset Formula $\lg$
 371 \end_inset
 372
 373  internal energy
 374 \begin_inset Formula $[\mathrm{erg}\,\mathrm{g}^{-1}]$
 375 \end_inset
 376
 377  and
 378 \begin_inset Formula $\lg$
 379 \end_inset
 380
 381  density
 382 \begin_inset Formula $[\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}]$
 383 \end_inset
 384
 385
 386 \end_layout
 387
 388 \end_inset
 389
 390
 391 \end_layout
 392
 393 \begin_layout Plain Layout
 394 \begin_inset CommandInset label
 395 LatexCommand label
 396 name "FigGam"
 397
 398 \end_inset
 399
 400
 401 \end_layout
 402
 403 \end_inset
 404
 405  In this section the one-zone model of Baker (
 406 \begin_inset CommandInset citation
 407 LatexCommand cite
 408 key "baker"
 409
 410 \end_inset
 411
 412 ), originally used to study the Cepheı̈d pulsation mechanism, will be briefly
 413  reviewed.
 414  The resulting stability criteria will be rewritten in terms of local state
 415  variables, local timescales and constitutive relations.
 416 \end_layout
 417
 418 \begin_layout Standard
 419 Baker (
 420 \begin_inset CommandInset citation
 421 LatexCommand cite
 422 key "baker"
 423
 424 \end_inset
 425
 426 ) investigates the stability of thin layers in self-gravitating, spherical
 427  gas clouds with the following properties:
 428 \end_layout
 429
 430 \begin_layout Itemize
 431 hydrostatic equilibrium,
 432 \end_layout
 433
 434 \begin_layout Itemize
 435 thermal equilibrium,
 436 \end_layout
 437
 438 \begin_layout Itemize
 439 energy transport by grey radiation diffusion.
 440
 441 \end_layout
 442
 443 \begin_layout Standard
 444 \noindent
 445 For the one-zone-model Baker obtains necessary conditions for dynamical,
 446  secular and vibrational (or pulsational) stability (Eqs.
 447 \begin_inset ERT
 448 status collapsed
 449
 450 \begin_layout Plain Layout
 451
 452
 453 \backslash
 454
 455 \end_layout
 456
 457 \end_inset
 458
 459 (34a,
 460 \begin_inset ERT
 461 status collapsed
 462
 463 \begin_layout Plain Layout
 464
 465
 466 \backslash
 467 ,
 468 \end_layout
 469
 470 \end_inset
 471
 472 b,
 473 \begin_inset ERT
 474 status collapsed
 475
 476 \begin_layout Plain Layout
 477
 478
 479 \backslash
 480 ,
 481 \end_layout
 482
 483 \end_inset
 484
 485 c) in Baker
 486 \begin_inset CommandInset citation
 487 LatexCommand cite
 488 key "baker"
 489
 490 \end_inset
 491
 492 ).
 493  Using Baker's notation:
 494 \end_layout
 495
 496 \begin_layout Standard
 497 \align left
 498 \begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
 499 M_{r} &  & \textrm{mass internal to the radius }r\\
 500 m &  & \textrm{mass of the zone}\\
 501 r_{0} &  & \textrm{unperturbed zone radius}\\
 502 \rho_{0} &  & \textrm{unperturbed density in the zone}\\
 503 T_{0} &  & \textrm{unperturbed temperature in the zone}\\
 504 L_{r0} &  & \textrm{unperturbed luminosity}\\
 505 E_{\textrm{th}} &  & \textrm{thermal energy of the zone}\end{eqnarray*}
 506
 507 \end_inset
 508
 509
 510 \end_layout
 511
 512 \begin_layout Standard
 513 \noindent
 514 and with the definitions of the
 515 \emph on
 516 local cooling time
 517 \begin_inset ERT
 518 status collapsed
 519
 520 \begin_layout Plain Layout
 521
 522
 523 \backslash
 524 /{}
 525 \end_layout
 526
 527 \end_inset
 528
 529
 530 \emph default
 531  (see Fig.
 532 \begin_inset space ~
 533 \end_inset
 534
 535
 536 \begin_inset CommandInset ref
 537 LatexCommand ref
 538 reference "FigGam"
 539
 540 \end_inset
 541
 542 )
 543 \begin_inset Formula \begin{equation}
 544 \tau_{\mathrm{co}}=\frac{E_{\mathrm{th}}}{L_{r0}}\,,\end{equation}
 545
 546 \end_inset
 547
 548  and the
 549 \emph on
 550 local free-fall time
 551 \emph default
 552
 553 \begin_inset Formula \begin{equation}
 554 \tau_{\mathrm{ff}}=\sqrt{\frac{3\pi}{32G}\frac{4\pi r_{0}^{3}}{3M_{\mathrm{r}}}}\,,\end{equation}
 555
 556 \end_inset
 557
 558  Baker's
 559 \begin_inset Formula $K$
 560 \end_inset
 561
 562  and
 563 \begin_inset Formula $\sigma_{0}$
 564 \end_inset
 565
 566  have the following form:
 567 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 568 \sigma_{0} & = & \frac{\pi}{\sqrt{8}}\frac{1}{\tau_{\mathrm{ff}}}\\
 569 K & = & \frac{\sqrt{32}}{\pi}\frac{1}{\delta}\frac{\tau_{\mathrm{ff}}}{\tau_{\mathrm{co}}}\,;\end{eqnarray}
 570
 571 \end_inset
 572
 573  where
 574 \begin_inset Formula $E_{\mathrm{th}}\approx m(P_{0}/{\rho_{0}})$
 575 \end_inset
 576
 577  has been used and
 578 \begin_inset Formula \begin{equation}
 579 \begin{array}{l}
 580 \delta=-\left(\frac{\partial\ln\rho}{\partial\ln T}\right)_{P}\\
 581 e=mc^{2}\end{array}\end{equation}
 582
 583 \end_inset
 584
 585  is a thermodynamical quantity which is of order
 586 \begin_inset Formula $1$
 587 \end_inset
 588
 589  and equal to
 590 \begin_inset Formula $1$
 591 \end_inset
 592
 593  for nonreacting mixtures of classical perfect gases.
 594  The physical meaning of
 595 \begin_inset Formula $\sigma_{0}$
 596 \end_inset
 597
 598  and
 599 \begin_inset Formula $K$
 600 \end_inset
 601
 602  is clearly visible in the equations above.
 603
 604 \begin_inset Formula $\sigma_{0}$
 605 \end_inset
 606
 607  represents a frequency of the order one per free-fall time.
 608
 609 \begin_inset Formula $K$
 610 \end_inset
 611
 612  is proportional to the ratio of the free-fall time and the cooling time.
 613  Substituting into Baker's criteria, using thermodynamic identities and
 614  definitions of thermodynamic quantities,
 615 \begin_inset Formula \[
 616 \Gamma_{1}=\left(\frac{\partial\ln P}{\partial\ln\rho}\right)_{S}\,,\;\chi_{\rho}^{}=\left(\frac{\partial\ln P}{\partial\ln\rho}\right)_{T}\,,\;\kappa_{P}^{}=\left(\frac{\partial\ln\kappa}{\partial\ln P}\right)_{T}\]
 617
 618 \end_inset
 619
 620
 621 \begin_inset Formula \[
 622 \nabla_{\mathrm{ad}}=\left(\frac{\partial\ln T}{\partial\ln P}\right)_{S}\,,\;\chi_{T}^{}=\left(\frac{\partial\ln P}{\partial\ln T}\right)_{\rho}\,,\;\kappa_{T}^{}=\left(\frac{\partial\ln\kappa}{\partial\ln T}\right)_{T}\]
 623
 624 \end_inset
 625
 626  one obtains, after some pages of algebra, the conditions for
 627 \emph on
 628 stability
 629 \begin_inset ERT
 630 status collapsed
 631
 632 \begin_layout Plain Layout
 633
 634
 635 \backslash
 636 /{}
 637 \end_layout
 638
 639 \end_inset
 640
 641
 642 \emph default
 643  given below:
 644 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 645 \frac{\pi^{2}}{8}\frac{1}{\tau_{\mathrm{ff}}^{2}}(3\Gamma_{1}-4) & > & 0\label{ZSDynSta}\\
 646 \frac{\pi^{2}}{\tau_{\mathrm{co}}\tau_{\mathrm{ff}}^{2}}\Gamma_{1}\nabla_{\mathrm{ad}}\left[\frac{1-3/4\chi_{\rho}^{}}{\chi_{T}^{}}(\kappa_{T}^{}-4)+\kappa_{P}^{}+1\right] & > & 0\label{ZSSecSta}\\
 647 \frac{\pi^{2}}{4}\frac{3}{\tau_{\mathrm{co}}\tau_{\mathrm{ff}}^{2}}\Gamma_{1}^{2}\,\nabla_{\mathrm{ad}}\left[4\nabla_{\mathrm{ad}}-(\nabla_{\mathrm{ad}}\kappa_{T}^{}+\kappa_{P}^{})-\frac{4}{3\Gamma_{1}}\right] & > & 0\label{ZSVibSta}\end{eqnarray}
 648
 649 \end_inset
 650
 651  For a physical discussion of the stability criteria see Baker (
 652 \begin_inset CommandInset citation
 653 LatexCommand cite
 654 key "baker"
 655
 656 \end_inset
 657
 658 ) or Cox (
 659 \begin_inset CommandInset citation
 660 LatexCommand cite
 661 key "cox"
 662
 663 \end_inset
 664
 665 ).
 666 \end_layout
 667
 668 \begin_layout Standard
 669 We observe that these criteria for dynamical, secular and vibrational stability,
 670  respectively, can be factorized into
 671 \end_layout
 672
 673 \begin_layout Enumerate
 674 a factor containing local timescales only,
 675 \end_layout
 676
 677 \begin_layout Enumerate
 678 a factor containing only constitutive relations and their derivatives.
 679
 680 \end_layout
 681
 682 \begin_layout Standard
 683 The first factors, depending on only timescales, are positive by definition.
 684  The signs of the left hand sides of the inequalities
 685 \begin_inset space ~
 686 \end_inset
 687
 688 (
 689 \begin_inset CommandInset ref
 690 LatexCommand ref
 691 reference "ZSDynSta"
 692
 693 \end_inset
 694
 695 ), (
 696 \begin_inset CommandInset ref
 697 LatexCommand ref
 698 reference "ZSSecSta"
 699
 700 \end_inset
 701
 702 ) and (
 703 \begin_inset CommandInset ref
 704 LatexCommand ref
 705 reference "ZSVibSta"
 706
 707 \end_inset
 708
 709 ) therefore depend exclusively on the second factors containing the constitutive
 710  relations.
 711  Since they depend only on state variables, the stability criteria themselves
 712  are
 713 \emph on
 714  functions of the thermodynamic state in the local zone
 715 \emph default
 716 .
 717  The one-zone stability can therefore be determined from a simple equation
 718  of state, given for example, as a function of density and temperature.
 719  Once the microphysics, i.e.
 720 \begin_inset ERT
 721 status collapsed
 722
 723 \begin_layout Plain Layout
 724
 725
 726 \backslash
 727
 728 \end_layout
 729
 730 \end_inset
 731
 732 the thermodynamics and opacities (see Table
 733 \begin_inset space ~
 734 \end_inset
 735
 736
 737 \begin_inset CommandInset ref
 738 LatexCommand ref
 739 reference "KapSou"
 740
 741 \end_inset
 742
 743 ), are specified (in practice by specifying a chemical composition) the
 744  one-zone stability can be inferred if the thermodynamic state is specified.
 745  The zone -- or in other words the layer -- will be stable or unstable in
 746  whatever object it is imbedded as long as it satisfies the one-zone-model
 747  assumptions.
 748  Only the specific growth rates (depending upon the time scales) will be
 749  different for layers in different objects.
 750 \end_layout
 751
 752 \begin_layout Standard
 753 \begin_inset Float table
 754 wide false
 755 sideways false
 756 status open
 757
 758 \begin_layout Plain Layout
 759 \begin_inset Caption
 760
 761 \begin_layout Plain Layout
 762 \begin_inset CommandInset label
 763 LatexCommand label
 764 name "KapSou"
 765
 766 \end_inset
 767
 768 Opacity sources
 769 \end_layout
 770
 771 \end_inset
 772
 773
 774 \end_layout
 775
 776 \begin_layout Plain Layout
 777 \begin_inset Tabular
 778 <lyxtabular version="3" rows="4" columns="2">
 779 <features>
 780 <column alignment="left" valignment="top" width="0pt">
 781 <column alignment="left" valignment="top" width="0pt">
 782 <row>
 783 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
 784 \begin_inset Text
 785
 786 \begin_layout Plain Layout
 787 Source
 788 \end_layout
 789
 790 \end_inset
 791 </cell>
 792 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
 793 \begin_inset Text
 794
 795 \begin_layout Plain Layout
 796 \begin_inset Formula $T/[\textrm{K}]$
 797 \end_inset
 798
 799
 800 \end_layout
 801
 802 \end_inset
 803 </cell>
 804 </row>
 805 <row>
 806 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
 807 \begin_inset Text
 808
 809 \begin_layout Plain Layout
 810 Yorke 1979, Yorke 1980a
 811 \end_layout
 812
 813 \end_inset
 814 </cell>
 815 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
 816 \begin_inset Text
 817
 818 \begin_layout Plain Layout
 819 \begin_inset Formula $\leq1700^{\textrm{a}}$
 820 \end_inset
 821
 822
 823 \end_layout
 824
 825 \end_inset
 826 </cell>
 827 </row>
 828 <row>
 829 <cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
 830 \begin_inset Text
 831
 832 \begin_layout Plain Layout
 833 Krügel 1971
 834 \end_layout
 835
 836 \end_inset
 837 </cell>
 838 <cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
 839 \begin_inset Text
 840
 841 \begin_layout Plain Layout
 842 \begin_inset Formula $1700\leq T\leq5000$
 843 \end_inset
 844
 845
 846 \end_layout
 847
 848 \end_inset
 849 </cell>
 850 </row>
 851 <row>
 852 <cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" usebox="none">
 853 \begin_inset Text
 854
 855 \begin_layout Plain Layout
 856 Cox & Stewart 1969
 857 \end_layout
 858
 859 \end_inset
 860 </cell>
 861 <cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" usebox="none">
 862 \begin_inset Text
 863
 864 \begin_layout Plain Layout
 865 \begin_inset Formula $5000\leq$
 866 \end_inset
 867
 868
 869 \end_layout
 870
 871 \end_inset
 872 </cell>
 873 </row>
 874 </lyxtabular>
 875
 876 \end_inset
 877
 878
 879 \end_layout
 880
 881 \begin_layout Plain Layout
 882 \begin_inset Formula $^{\textrm{a}}$
 883 \end_inset
 884
 885 This is footnote a
 886 \end_layout
 887
 888 \end_inset
 889
 890  We will now write down the sign (and therefore stability) determining parts
 891  of the left-hand sides of the inequalities (
 892 \begin_inset CommandInset ref
 893 LatexCommand ref
 894 reference "ZSDynSta"
 895
 896 \end_inset
 897
 898 ), (
 899 \begin_inset CommandInset ref
 900 LatexCommand ref
 901 reference "ZSSecSta"
 902
 903 \end_inset
 904
 905 ) and (
 906 \begin_inset CommandInset ref
 907 LatexCommand ref
 908 reference "ZSVibSta"
 909
 910 \end_inset
 911
 912 ) and thereby obtain
 913 \emph on
 914 stability equations of state
 915 \emph default
 916 .
 917 \end_layout
 918
 919 \begin_layout Standard
 920 The sign determining part of inequality
 921 \begin_inset space ~
 922 \end_inset
 923
 924 (
 925 \begin_inset CommandInset ref
 926 LatexCommand ref
 927 reference "ZSDynSta"
 928
 929 \end_inset
 930
 931 ) is
 932 \begin_inset Formula $3\Gamma_{1}-4$
 933 \end_inset
 934
 935  and it reduces to the criterion for dynamical stability
 936 \begin_inset Formula \begin{equation}
 937 \Gamma_{1}>\frac{4}{3}\,\cdot\end{equation}
 938
 939 \end_inset
 940
 941  Stability of the thermodynamical equilibrium demands
 942 \begin_inset Formula \begin{equation}
 943 \chi_{\rho}^{}>0,\;\; c_{v}>0\,,\end{equation}
 944
 945 \end_inset
 946
 947  and
 948 \begin_inset Formula \begin{equation}
 949 \chi_{T}^{}>0\end{equation}
 950
 951 \end_inset
 952
 953  holds for a wide range of physical situations.
 954  With
 955 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 956 \Gamma_{3}-1=\frac{P}{\rho T}\frac{\chi_{T}^{}}{c_{v}} & > & 0\\
 957 \Gamma_{1}=\chi_{\rho}^{}+\chi_{T}^{}(\Gamma_{3}-1) & > & 0\\
 958 \nabla_{\mathrm{ad}}=\frac{\Gamma_{3}-1}{\Gamma_{1}} & > & 0\end{eqnarray}
 959
 960 \end_inset
 961
 962  we find the sign determining terms in inequalities
 963 \begin_inset space ~
 964 \end_inset
 965
 966 (
 967 \begin_inset CommandInset ref
 968 LatexCommand ref
 969 reference "ZSSecSta"
 970
 971 \end_inset
 972
 973 ) and (
 974 \begin_inset CommandInset ref
 975 LatexCommand ref
 976 reference "ZSVibSta"
 977
 978 \end_inset
 979
 980 ) respectively and obtain the following form of the criteria for dynamical,
 981  secular and vibrational
 982 \emph on
 983 stability
 984 \emph default
 985 , respectively:
 986 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 987 3\Gamma_{1}-4=:S_{\mathrm{dyn}}> & 0\label{DynSta}\\
 988 \frac{1-3/4\chi_{\rho}^{}}{\chi_{T}^{}}(\kappa_{T}^{}-4)+\kappa_{P}^{}+1=:S_{\mathrm{sec}}> & 0\label{SecSta}\\
 989 4\nabla_{\mathrm{ad}}-(\nabla_{\mathrm{ad}}\kappa_{T}^{}+\kappa_{P}^{})-\frac{4}{3\Gamma_{1}}=:S_{\mathrm{vib}}> & 0\,.\label{VibSta}\end{eqnarray}
 990
 991 \end_inset
 992
 993  The constitutive relations are to be evaluated for the unperturbed thermodynami
 994 c state (say
 995 \begin_inset Formula $(\rho_{0},T_{0})$
 996 \end_inset
 997
 998 ) of the zone.
 999  We see that the one-zone stability of the layer depends only on the constitutiv
1000 e relations
1001 \begin_inset Formula $\Gamma_{1}$
1002 \end_inset
1003
1004 ,
1005 \begin_inset Formula $\nabla_{\mathrm{ad}}$
1006 \end_inset
1007
1008 ,
1009 \begin_inset Formula $\chi_{T}^{},\,\chi_{\rho}^{}$
1010 \end_inset
1011
1012 ,
1013 \begin_inset Formula $\kappa_{P}^{},\,\kappa_{T}^{}$
1014 \end_inset
1015
1016 .
1017  These depend only on the unperturbed thermodynamical state of the layer.
1018  Therefore the above relations define the one-zone-stability equations of
1019  state
1020 \begin_inset Formula $S_{\mathrm{dyn}},\, S_{\mathrm{sec}}$
1021 \end_inset
1022
1023  and
1024 \begin_inset Formula $S_{\mathrm{vib}}$
1025 \end_inset
1026
1027 .
1028  See Fig.
1029 \begin_inset space ~
1030 \end_inset
1031
1032
1033 \begin_inset CommandInset ref
1034 LatexCommand ref
1035 reference "FigVibStab"
1036
1037 \end_inset
1038
1039  for a picture of
1040 \begin_inset Formula $S_{\mathrm{vib}}$
1041 \end_inset
1042
1043 .
1044  Regions of secular instability are listed in Table
1045 \begin_inset space ~
1046 \end_inset
1047
1048 1.
1049 \end_layout
1050
1051 \begin_layout Standard
1052 \begin_inset Float figure
1053 wide false
1054 sideways false
1055 status open
1056
1057 \begin_layout Plain Layout
1058 \begin_inset Caption
1059
1060 \begin_layout Plain Layout
1061 Vibrational stability equation of state
1062 \begin_inset Formula $S_{\mathrm{vib}}(\lg e,\lg\rho)$
1063 \end_inset
1064
1065 .
1066
1067 \begin_inset Formula $>0$
1068 \end_inset
1069
1070  means vibrational stability
1071 \end_layout
1072
1073 \end_inset
1074
1075
1076 \end_layout
1077
1078 \begin_layout Plain Layout
1079 \begin_inset CommandInset label
1080 LatexCommand label
1081 name "FigVibStab"
1082
1083 \end_inset
1084
1085
1086 \end_layout
1087
1088 \end_inset
1089
1090
1091 \end_layout
1092
1093 \begin_layout Section
1094 Conclusions
1095 \end_layout
1096
1097 \begin_layout Enumerate
1098 The conditions for the stability of static, radiative layers in gas spheres,
1099  as described by Baker's (
1100 \begin_inset CommandInset citation
1101 LatexCommand cite
1102 key "baker"
1103
1104 \end_inset
1105
1106 ) standard one-zone model, can be expressed as stability equations of state.
1107  These stability equations of state depend only on the local thermodynamic
1108  state of the layer.
1109
1110 \end_layout
1111
1112 \begin_layout Enumerate
1113 If the constitutive relations -- equations of state and Rosseland mean opacities
1114  -- are specified, the stability equations of state can be evaluated without
1115  specifying properties of the layer.
1116
1117 \end_layout
1118
1119 \begin_layout Enumerate
1120 For solar composition gas the
1121 \begin_inset Formula $\kappa$
1122 \end_inset
1123
1124 -mechanism is working in the regions of the ice and dust features in the
1125  opacities, the
1126 \begin_inset Formula $\mathrm{H}_{2}$
1127 \end_inset
1128
1129  dissociation and the combined H, first He ionization zone, as indicated
1130  by vibrational instability.
1131  These regions of instability are much larger in extent and degree of instabilit
1132 y than the second He ionization zone that drives the Cepheı̈d pulsations.
1133
1134 \end_layout
1135
1136 \begin_layout Acknowledgement
1137 Part of this work was supported by the German
1138 \emph on
1139 Deut\SpecialChar \-
1140 sche For\SpecialChar \-
1141 schungs\SpecialChar \-
1142 ge\SpecialChar \-
1143 mein\SpecialChar \-
1144 schaft, DFG
1145 \begin_inset ERT
1146 status collapsed
1147
1148 \begin_layout Plain Layout
1149
1150
1151 \backslash
1152 /{}
1153 \end_layout
1154
1155 \end_inset
1156
1157
1158 \emph default
1159  project number Ts
1160 \begin_inset space ~
1161 \end_inset
1162
1163 17/2--1.
1164
1165 \end_layout
1166
1167 \begin_layout Bibliography
1168 \begin_inset CommandInset bibitem
1169 LatexCommand bibitem
1170 label "1966"
1171 key "baker"
1172
1173 \end_inset
1174
1175  Baker, N.
1176  1966, in Stellar Evolution, ed.
1177 \begin_inset ERT
1178 status collapsed
1179
1180 \begin_layout Plain Layout
1181
1182
1183 \backslash
1184
1185 \end_layout
1186
1187 \end_inset
1188
1189 R.
1190  F.
1191  Stein,& A.
1192  G.
1193  W.
1194  Cameron (Plenum, New York) 333
1195 \end_layout
1196
1197 \begin_layout Bibliography
1198 \begin_inset CommandInset bibitem
1199 LatexCommand bibitem
1200 label "1988"
1201 key "balluch"
1202
1203 \end_inset
1204
1205  Balluch, M.
1206  1988, A&A, 200, 58
1207 \end_layout
1208
1209 \begin_layout Bibliography
1210 \begin_inset CommandInset bibitem
1211 LatexCommand bibitem
1212 label "1980"
1213 key "cox"
1214
1215 \end_inset
1216
1217  Cox, J.
1218  P.
1219  1980, Theory of Stellar Pulsation (Princeton University Press, Princeton)
1220  165
1221 \end_layout
1222
1223 \begin_layout Bibliography
1224 \begin_inset CommandInset bibitem
1225 LatexCommand bibitem
1226 label "1969"
1227 key "cox69"
1228
1229 \end_inset
1230
1231  Cox, A.
1232  N.,& Stewart, J.
1233  N.
1234  1969, Academia Nauk, Scientific Information 15, 1
1235 \end_layout
1236
1237 \begin_layout Bibliography
1238 \begin_inset CommandInset bibitem
1239 LatexCommand bibitem
1240 label "1980"
1241 key "mizuno"
1242
1243 \end_inset
1244
1245  Mizuno H.
1246  1980, Prog.
1247  Theor.
1248  Phys., 64, 544
1249 \end_layout
1250
1251 \begin_layout Bibliography
1252 \begin_inset CommandInset bibitem
1253 LatexCommand bibitem
1254 label "1987"
1255 key "tscharnuter"
1256
1257 \end_inset
1258
1259  Tscharnuter W.
1260  M.
1261  1987, A&A, 188, 55
1262 \end_layout
1263
1264 \begin_layout Bibliography
1265 \begin_inset CommandInset bibitem
1266 LatexCommand bibitem
1267 label "1992"
1268 key "terlevich"
1269
1270 \end_inset
1271
1272  Terlevich, R.
1273  1992, in ASP Conf.
1274  Ser.
1275  31, Relationships between Active Galactic Nuclei and Starburst Galaxies,
1276  ed.
1277  A.
1278  V.
1279  Filippenko, 13
1280 \end_layout
1281
1282 \begin_layout Bibliography
1283 \begin_inset CommandInset bibitem
1284 LatexCommand bibitem
1285 label "1980a"
1286 key "yorke80a"
1287
1288 \end_inset
1289
1290  Yorke, H.
1291  W.
1292  1980a, A&A, 86, 286
1293 \end_layout
1294
1295 \begin_layout Bibliography
1296 \begin_inset CommandInset bibitem
1297 LatexCommand bibitem
1298 label "1997"
1299 key "zheng"
1300
1301 \end_inset
1302
1303 Zheng, W., Davidsen, A.
1304  F., Tytler, D.
1305  & Kriss, G.
1306  A.
1307  1997, preprint
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1309
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