lib/examples/aa_paper.lyx

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  23 \paperpagestyle default
  24
  25 \layout Thesaurus
  26
  27 06(03.11.1;16.06.1;19.06.1;19.37.1;19.53.1;19.63.1)
  28 \layout Title
  29
  30 Hydrodynamics of giant planet formation
  31 \layout Subtitle
  32
  33 I.
  34  Overviewing the
  35 \begin_inset Formula \( \kappa  \)
  36 \end_inset
  37
  38 -mechanism
  39 \layout Author
  40
  41 G.
  42  Wuchterl
  43 \layout Address
  44
  45 Institute for Astronomy (IfA), University of Vienna, Türkenschanzstrasse
  46  17, A-1180 Vienna
  47 \layout Offprint
  48
  49 G.
  50  Wuchterl
  51 \layout Email
  52
  53 wuchterl@amok.ast.univie.ac.at
  54 \layout Date
  55
  56 Received September 15, 1996 / Accepted March 16, 1997
  57 \layout Abstract
  58
  59 To investigate the physical nature of the `nuc\SpecialChar \-
  60 leated instability' of proto
  61  giant planets (Mizuno
  62 \begin_inset LatexCommand \cite{mizuno}
  63
  64 \end_inset
  65
  66 ), the stability of layers in static, radiative gas spheres is analysed
  67  on the basis of Baker's
  68 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
  69
  70 \end_inset
  71
  72  standard one-zone model.
  73  It is shown that stability depends only upon the equations of state, the
  74  opacities and the local thermodynamic state in the layer.
  75  Stability and instability can therefore be expressed in the form of stability
  76  equations of state which are universal for a given composition.
  77 \layout Abstract
  78
  79 The stability equations of state are calculated for solar composition and
  80  are displayed in the domain
  81 \begin_inset Formula \( -14\leq \lg \rho /[\mathrm{g}\, \mathrm{cm}^{-3}]\leq 0 \)
  82 \end_inset
  83
  84 ,
  85 \begin_inset Formula \( 8.8\leq \lg e/[\mathrm{erg}\, \mathrm{g}^{-1}]\leq 17.7 \)
  86 \end_inset
  87
  88 .
  89  These displays may be used to determine the one-zone stability of layers
  90  in stellar or planetary structure models by directly reading off the value
  91  of the stability equations for the thermodynamic state of these layers,
  92  specified by state quantities as density
  93 \begin_inset Formula \( \rho  \)
  94 \end_inset
  95
  96 , temperature
  97 \begin_inset Formula \( T \)
  98 \end_inset
  99
 100  or specific internal energy
 101 \begin_inset Formula \( e \)
 102 \end_inset
 103
 104 .
 105  Regions of instability in the
 106 \begin_inset Formula \( (\rho \, e) \)
 107 \end_inset
 108
 109 -plane are described and related to the underlying microphysical processes.
 110  Vibrational instability is found to be a common phenomenon at temperatures
 111  lower than the second He ionisation zone.
 112  The
 113 \begin_inset Formula \( \kappa  \)
 114 \end_inset
 115
 116 -mechanism is widespread under `cool' conditions.
 117 \layout Abstract
 118
 119
 120 \latex latex
 121
 122 \backslash
 123 keywords{
 124 \latex default
 125 giant planet formation --
 126 \begin_inset Formula \( \kappa  \)
 127 \end_inset
 128
 129 -mechanism -- stability of gas spheres
 130 \latex latex
 131 }
 132 \layout Section
 133
 134 Introduction
 135 \layout Standard
 136
 137 In the
 138 \emph on
 139 nucleated instability
 140 \emph default
 141  (also called core instability) hypothesis of giant planet formation, a
 142  critical mass for static core envelope protoplanets has been found.
 143  Mizuno (
 144 \begin_inset LatexCommand \cite{mizuno}
 145
 146 \end_inset
 147
 148 ) determined the critical mass of the core to be about
 149 \begin_inset Formula \( 12\, M_{\oplus } \)
 150 \end_inset
 151
 152  (
 153 \begin_inset Formula \( M_{\oplus }=5.975\, 10^{27}\, \mathrm{g} \)
 154 \end_inset
 155
 156  is the Earth mass), which is independent of the outer boundary conditions
 157  and therefore independent of the location in the solar nebula.
 158  This critical value for the core mass corresponds closely to the cores
 159  of today's giant planets.
 160 \layout Standard
 161
 162 Although no hydrodynamical study has been available many workers conjectured
 163  that a collapse or rapid contraction will ensue after accumulating the
 164  critical mass.
 165  The main motivation for this article is to investigate the stability of
 166  the static envelope at the critical mass.
 167  With this aim the local, linear stability of static radiative gas spheres
 168  is investigated on the basis of Baker's (
 169 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 170
 171 \end_inset
 172
 173 ) standard one-zone model.
 174  The nonlinear, hydrodynamic evolution of the protogiant planet beyond the
 175  critical mass, as calculated by Wuchterl (
 176 \begin_inset LatexCommand \cite{wuchterl}
 177
 178 \end_inset
 179
 180 ), will be described in a forthcoming article.
 181 \layout Standard
 182
 183 The fact that Wuchterl (
 184 \begin_inset LatexCommand \cite{wuchterl}
 185
 186 \end_inset
 187
 188 ) found the excitation of hydrodynamical waves in his models raises considerable
 189  interest on the transition from static to dynamic evolutionary phases of
 190  the protogiant planet at the critical mass.
 191  The waves play a crucial role in the development of the so-called nucleated
 192  instability in the nucleated instability hypothesis.
 193  They lead to the formation of shock waves and massive outflow phenomena.
 194  The protoplanet evolves into a new quasi-equilibrium structure with a
 195 \emph on
 196 pulsating
 197 \emph default
 198  envelope, after the mass loss phase has declined.
 199 \layout Standard
 200
 201 Phenomena similar to the ones described above for giant planet formation
 202  have been found in hydrodynamical models concerning star formation where
 203  protostellar cores explode (Tscharnuter
 204 \begin_inset LatexCommand \cite{tscarnuter}
 205
 206 \end_inset
 207
 208 , Balluch
 209 \begin_inset LatexCommand \cite{balluch}
 210
 211 \end_inset
 212
 213 ), whereas earlier studies found quasi-steady collapse flows.
 214  The similarities in the (micro)physics, i.e., constitutive relations of protostel
 215 lar cores and protogiant planets serve as a further motivation for this
 216  study.
 217 \layout Section
 218
 219 Baker's standard one-zone model
 220 \layout Standard
 221
 222 \begin_float wide-fig
 223 \layout Standard
 224
 225
 226 \latex latex
 227
 228 \backslash
 229 rule{0.4pt}{4cm}
 230 \hfill
 231
 232 \backslash
 233 parbox[b]{55mm}{
 234 \layout Caption
 235
 236 Adiabatic exponent
 237 \begin_inset Formula \( \Gamma  \)
 238 \end_inset
 239
 240 .
 241
 242 \begin_inset Formula \( \Gamma _{1} \)
 243 \end_inset
 244
 245 is plotted as a function of
 246 \begin_inset Formula \( \lg  \)
 247 \end_inset
 248
 249  internal energy
 250 \begin_inset Formula \( [\mathrm{erg}\, \mathrm{g}^{-1}] \)
 251 \end_inset
 252
 253  and
 254 \begin_inset Formula \( \lg  \)
 255 \end_inset
 256
 257  density
 258 \begin_inset Formula \( [\mathrm{g}\, \mathrm{cm}^{-3}] \)
 259 \end_inset
 260
 261
 262 \begin_inset LatexCommand \label{FigGam}
 263
 264 \end_inset
 265
 266
 267 \latex latex
 268 }
 269 \end_float
 270 In this section the one-zone model of Baker (
 271 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 272
 273 \end_inset
 274
 275 ), originally used to study the Cepheïd pulsation mechanism, will be briefly
 276  reviewed.
 277  The resulting stability criteria will be rewritten in terms of local state
 278  variables, local timescales and constitutive relations.
 279 \layout Standard
 280
 281 Baker (
 282 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 283
 284 \end_inset
 285
 286 ) investigates the stability of thin layers in self-gravitating, spherical
 287  gas clouds with the following properties:
 288 \layout Itemize
 289
 290 hydrostatic equilibrium,
 291 \layout Itemize
 292
 293 thermal equilibrium,
 294 \layout Itemize
 295
 296 energy transport by grey radiation diffusion.
 297 \layout Standard
 298
 299 For the one-zone-model Baker obtains necessary conditions for dynamical,
 300  secular and vibrational (or pulsational) stability [Eqs.\SpecialChar ~
 301 (34a,
 302 \latex latex
 303
 304 \backslash
 305 ,
 306 \latex default
 307 b,
 308 \latex latex
 309
 310 \backslash
 311 ,
 312 \latex default
 313 c) in Baker
 314 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 315
 316 \end_inset
 317
 318 ].
 319  Using Baker's notation:
 320 \begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
 321 M_{\mathrm{r}} &  & \mathrm{mass}\, \mathrm{internal}\, \mathrm{to}\, \mathrm{the}\, \mathrm{radius}\, r\\
 322 m &  & \mathrm{mass}\, \mathrm{of}\, \mathrm{the}\, \mathrm{zone}\\
 323 r_{0} &  & \mathrm{unperturbed}\, \mathrm{zone}\, \mathrm{radius}\\
 324 \rho _{0} &  & \mathrm{unperturbed}\, \mathrm{density}\, \mathrm{in}\, \mathrm{the}\, \mathrm{zone}\\
 325 T_{0} &  & \mathrm{unperturbed}\, \mathrm{temperature}\, \mathrm{in}\, \mathrm{the}\, \mathrm{zone}\\
 326 L_{r0} &  & \mathrm{unperturbed}\, \mathrm{luminosity}\\
 327 E_{\mathrm{th}} &  & \mathrm{thermal}\, \mathrm{energy}\, \mathrm{of}\, \mathrm{the}\, \mathrm{zone}
 328 \end{eqnarray*}
 329
 330 \end_inset
 331
 332 and with the definitions of the
 333 \emph on
 334 local cooling time
 335 \emph default
 336  (see Fig.\SpecialChar ~
 337
 338 \begin_inset LatexCommand \ref{FigGam}
 339
 340 \end_inset
 341
 342 )
 343 \layout Standard
 344
 345
 346 \begin_inset Formula \begin{equation}
 347 \tau _{\mathrm{co}}=\frac{E_{\mathrm{th}}}{L_{r0}}\, ,
 348 \end{equation}
 349
 350 \end_inset
 351
 352 and the
 353 \emph on
 354 local free-fall time
 355 \layout Standard
 356
 357
 358 \begin_inset Formula \begin{equation}
 359 \tau _{\mathrm{ff}}=\sqrt{\frac{3\pi }{32G}\frac{4\pi r_{0}^{3}}{3M_{\mathrm{r}}}\, ,}
 360 \end{equation}
 361
 362 \end_inset
 363
 364 Baker's
 365 \begin_inset Formula \( K \)
 366 \end_inset
 367
 368  and
 369 \begin_inset Formula \( \sigma _{0} \)
 370 \end_inset
 371
 372  have the following form:
 373 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 374 \sigma _{0} & = & \frac{\pi }{\sqrt{8}}\frac{1}{\tau _{\mathrm{ff}}}\\
 375 K & = & \frac{\sqrt{32}}{\pi }\frac{1}{\delta }\frac{\tau _{\mathrm{ff}}}{\tau _{\mathrm{co}}}\, ;
 376 \end{eqnarray}
 377
 378 \end_inset
 379
 380 where
 381 \begin_inset Formula \( E_{\mathrm{th}}\approx m(P_{0}/\rho _{0}) \)
 382 \end_inset
 383
 384  has been used and
 385 \layout Standard
 386
 387
 388 \begin_inset Formula \begin{equation}
 389 \begin{array}{l}
 390 \delta =-\left( \frac{\partial \ln \rho }{\partial \ln T}\right) _{P}\\
 391 e=mc^{2}
 392 \end{array}
 393 \end{equation}
 394
 395 \end_inset
 396
 397 is a thermodynamical quantity which is of order
 398 \begin_inset Formula \( 1 \)
 399 \end_inset
 400
 401  and equal to
 402 \begin_inset Formula \( 1 \)
 403 \end_inset
 404
 405  for nonreacting mixtures of classical perfect gases.
 406  The physical meaning of
 407 \begin_inset Formula \( \sigma _{0} \)
 408 \end_inset
 409
 410  and
 411 \begin_inset Formula \( K \)
 412 \end_inset
 413
 414  is clearly visible in the equations above.
 415
 416 \begin_inset Formula \( \sigma _{0} \)
 417 \end_inset
 418
 419  represents a frequency of the order one per free-fall time.
 420
 421 \begin_inset Formula \( K \)
 422 \end_inset
 423
 424  is proportional to the ratio of the free-fall time and the cooling time.
 425  Substituting into Baker's criteria, using thermodynamic identities and
 426  definitions of thermodynamic quantities,
 427 \begin_inset Formula \[
 428 \Gamma _{1}=\left( \frac{\partial \ln P}{\partial \ln \rho }\right) _{S}\, ,\: \chi _{\rho }=\left( \frac{\partial \ln P}{\partial \ln \rho }\right) _{T}\, ,\: \kappa _{P}=\left( \frac{\partial \ln \kappa }{\partial \ln P}\right) _{T}\]
 429
 430 \end_inset
 431
 432
 433 \layout Standard
 434
 435
 436 \begin_inset Formula \[
 437 \nabla _{\mathrm{ad}}=\left( \frac{\partial \ln T}{\partial \ln P}\right) _{S}\, ,\: \chi _{T}=\left( \frac{\partial \ln P}{\partial \ln T}\right) _{\rho }\, ,\: \kappa _{T}=\left( \frac{\partial \ln \kappa }{\partial \ln P}\right) _{T}\]
 438
 439 \end_inset
 440
 441 one obtains, after some pages of algebra, the conditions for
 442 \emph on
 443 stability
 444 \emph default
 445  given below:
 446 \layout Standard
 447
 448
 449 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 450 \frac{\pi ^{2}}{8}\frac{1}{\tau _{\mathrm{ff}}^{2}}(3\Gamma _{1}-4) & > & 0\label{ZSDynSta} \\
 451 \frac{\pi ^{2}}{\tau _{\mathrm{co}}\tau _{\mathrm{ff}}^{2}}\Gamma _{1}\nabla _{\mathrm{ad}}\left[ \frac{1-3/4\chi _{\rho }}{\chi _{T}}(\kappa _{T}-4)+\kappa _{P}+1\right]  & > & 0\label{ZSSecSta} \\
 452 \frac{\pi ^{2}}{4}\frac{3}{\tau _{\mathrm{co}}\tau _{\mathrm{ff}}^{2}}\Gamma _{1}^{2}\nabla _{\mathrm{ad}}\left[ 4\nabla _{\mathrm{ad}}-(\nabla _{\mathrm{ad}}\kappa _{T}+\kappa _{P})-\frac{4}{3\Gamma _{1}}\right]  & > & 0\label{ZSVibSta}
 453 \end{eqnarray}
 454
 455 \end_inset
 456
 457 For a physical discussion of the stability criteria see Baker (
 458 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 459
 460 \end_inset
 461
 462 ) or Cox (
 463 \begin_inset LatexCommand \cite{cox}
 464
 465 \end_inset
 466
 467 ).
 468 \layout Standard
 469
 470 We observe that these criteria for dynamical, secular and vibrational stability,
 471  respectively, can be factorized into
 472 \layout Enumerate
 473
 474 a factor containing local timescales only,
 475 \layout Enumerate
 476
 477 a factor containing only constitutive relations and their derivatives.
 478 \layout Standard
 479
 480 The first factors, depending on only timescales, are positive by definition.
 481  The signs of the left hand sides of the inequalities\SpecialChar ~
 482 (
 483 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSDynSta}
 484
 485 \end_inset
 486
 487 ), (
 488 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSSecSta}
 489
 490 \end_inset
 491
 492 ) and (
 493 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSVibSta}
 494
 495 \end_inset
 496
 497 ) therefore depend exclusively on the second factors containing the constitutive
 498  relations.
 499  Since they depend only on state variables, the stability criteria themselves
 500  are
 501 \emph on
 502 functions of the thermodynamic state in the local zone
 503 \emph default
 504 .
 505  The one-zone stability can therefore be determined from a simple equation
 506  of state, given for example, as a function of density and temperature.
 507  Once the microphysics, i.e.
 508  the thermodynamics and opacities (see Table\SpecialChar ~
 509
 510 \begin_inset LatexCommand \ref{KapSou}
 511
 512 \end_inset
 513
 514 ), are specified (in practice by specifying a chemical composition) the
 515  one-zone stability can be inferred if the thermodynamic state is specified.
 516  The zone -- or in other words the layer -- will be stable or unstable in
 517  whatever object it is imbedded as long as it satisfies the one-zone-model
 518  assumptions.
 519  Only the specific growth rates (depending upon the time scales) will be
 520  different for layers in different objects.
 521 \layout Standard
 522
 523 \begin_float tab
 524 \layout Caption
 525
 526 Opacity sources
 527 \begin_inset LatexCommand \label{KapSou}
 528
 529 \end_inset
 530
 531
 532 \layout Standard
 533
 534
 535 \begin_inset  Tabular
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 541 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 542 \begin_inset Text
 543
 544 \layout Standard
 545
 546 Source
 547 \end_inset
 548 </cell>
 549 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 550 \begin_inset Text
 551
 552 \layout Standard
 553
 554 T/[K]
 555 \end_inset
 556 </cell>
 557 </row>
 558 <row topline="false" bottomline="false" newpage="false">
 559 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 560 \begin_inset Text
 561
 562 \layout Standard
 563
 564 Yorke 1979, Yorke 1980a
 565 \end_inset
 566 </cell>
 567 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 568 \begin_inset Text
 569
 570 \layout Standard
 571
 572
 573 \begin_inset Formula \( \leq 1700^{\mathrm{a}} \)
 574 \end_inset
 575
 576
 577 \end_inset
 578 </cell>
 579 </row>
 580 <row topline="false" bottomline="false" newpage="false">
 581 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 582 \begin_inset Text
 583
 584 \layout Standard
 585
 586 Krügel 1971
 587 \end_inset
 588 </cell>
 589 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 590 \begin_inset Text
 591
 592 \layout Standard
 593
 594
 595 \begin_inset Formula \( 1700\leq T\leq 5000 \)
 596 \end_inset
 597
 598
 599 \end_inset
 600 </cell>
 601 </row>
 602 <row topline="false" bottomline="true" newpage="false">
 603 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 604 \begin_inset Text
 605
 606 \layout Standard
 607
 608 Cox & Stewart 1969
 609 \end_inset
 610 </cell>
 611 <cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
 612 \begin_inset Text
 613
 614 \layout Standard
 615
 616
 617 \begin_inset Formula \( 5000\leq  \)
 618 \end_inset
 619
 620
 621 \end_inset
 622 </cell>
 623 </row>
 624 </lyxtabular>
 625
 626 \end_inset
 627
 628
 629 \layout Standard
 630 \added_space_top medskip*
 631
 632 \begin_inset Formula \( ^{\textrm{a}} \)
 633 \end_inset
 634
 635  This is footnote a
 636 \end_float
 637 \begin_float wide-tab
 638 \layout Caption
 639
 640 Regions of secular instability
 641 \begin_inset LatexCommand \label{TabSecInst}
 642
 643 \end_inset
 644
 645
 646 \layout Standard
 647
 648
 649 \latex latex
 650
 651 \backslash
 652 vspace{4cm}
 653 \end_float
 654 We will now write down the sign (and therefore stability) determining parts
 655  of the left-hand sides of the inequalities (
 656 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSDynSta}
 657
 658 \end_inset
 659
 660 ), (
 661 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSSecSta}
 662
 663 \end_inset
 664
 665 ) and (
 666 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSVibSta}
 667
 668 \end_inset
 669
 670 ) and thereby obtain
 671 \emph on
 672 stability equations of state
 673 \emph default
 674 .
 675 \layout Standard
 676
 677 The sign determining part of inequality\SpecialChar ~
 678 (
 679 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSDynSta}
 680
 681 \end_inset
 682
 683 ) is
 684 \begin_inset Formula \( 3\Gamma _{1}-4 \)
 685 \end_inset
 686
 687  and it reduces to the criterion for dynamical stability
 688 \layout Standard
 689
 690
 691 \begin_inset Formula \begin{equation}
 692 \Gamma _{1}>\frac{4}{3}
 693 \end{equation}
 694
 695 \end_inset
 696
 697 Stability of the thermodynamical equilibrium demands
 698 \begin_inset Formula \begin{equation}
 699 \chi _{\rho }>0,\: \: c_{v}>0\, ,
 700 \end{equation}
 701
 702 \end_inset
 703
 704 and
 705 \layout Standard
 706
 707
 708 \begin_inset Formula \begin{equation}
 709 \chi _{T}>0
 710 \end{equation}
 711
 712 \end_inset
 713
 714 holds for a wide range of physical situations.
 715  With
 716 \layout Standard
 717
 718
 719 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 720 \Gamma _{3}-1=\frac{P}{\rho T}\frac{\chi _{T}}{c_{v}} & > & 0\\
 721 \Gamma _{1}=\chi _{\rho }+\chi _{T}(\Gamma _{3}-1) & > & 0\\
 722 \nabla _{\mathrm{ad}}=\frac{\Gamma _{3}-1}{\Gamma _{1}} & > & 0
 723 \end{eqnarray}
 724
 725 \end_inset
 726
 727 we find the sign determining terms in inequalities\SpecialChar ~
 728 (
 729 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSSecSta}
 730
 731 \end_inset
 732
 733 ) and (
 734 \begin_inset LatexCommand \ref{ZSVibSta}
 735
 736 \end_inset
 737
 738 ) respectively and obtain the following form of the criteria for dynamical,
 739  secular and vibrational
 740 \emph on
 741 stability
 742 \emph default
 743 , respectively:
 744 \layout Standard
 745
 746
 747 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 748 3\Gamma _{1}-4=:\, S_{\mathrm{dyn}}> & 0 & \label{DynSta} \\
 749 \frac{1-3/4\chi _{\rho }}{\chi _{T}}(\kappa _{T}-4)+\kappa _{P}+1=:\, S_{\mathrm{sec}}> & 0 & \label{SecSta} \\
 750 4\nabla _{\mathrm{ad}}-(\nabla _{\mathrm{ad}}\kappa _{T}+\kappa _{P}-\frac{4}{3\Gamma _{1}}=:\, S_{\mathrm{vib}}> & 0 & \label{VibSta}
 751 \end{eqnarray}
 752
 753 \end_inset
 754
 755 The constitutive relations are to be evaluated for the unperturbed thermodynamic
 756  state (say
 757 \begin_inset Formula \( (\rho _{0},T_{0}) \)
 758 \end_inset
 759
 760 ) of the zone.
 761  We see that the one-zone stability of the layer depends only on the constitutiv
 762 e relations
 763 \begin_inset Formula \( \Gamma _{1} \)
 764 \end_inset
 765
 766 ,
 767 \begin_inset Formula \( \nabla _{\mathrm{ad}} \)
 768 \end_inset
 769
 770 ,
 771 \begin_inset Formula \( \chi _{T},\, \chi _{\rho } \)
 772 \end_inset
 773
 774 ,
 775 \begin_inset Formula \( \kappa _{P},\, \kappa _{T} \)
 776 \end_inset
 777
 778 .
 779  These depend only on the unperturbed thermodynamical state of the layer.
 780  Therefore the above relations define the one-zone-stability equations of
 781  state
 782 \begin_inset Formula \( S_{\mathrm{dyn}},\, S_{\mathrm{sec}} \)
 783 \end_inset
 784
 785  and
 786 \begin_inset Formula \( S_{\mathrm{vib}} \)
 787 \end_inset
 788
 789 .
 790  See Fig.\SpecialChar ~
 791
 792 \begin_inset LatexCommand \ref{FigVibStab}
 793
 794 \end_inset
 795
 796  for a picture of
 797 \begin_inset Formula \( S_{\mathrm{vib}} \)
 798 \end_inset
 799
 800 .
 801  Regions of secular instability are listed in Table\SpecialChar ~
 802
 803 \begin_inset LatexCommand \ref{TabSecInst}
 804
 805 \end_inset
 806
 807 .
 808 \layout Standard
 809
 810 \begin_float fig
 811 \layout Standard
 812
 813
 814 \latex latex
 815
 816 \backslash
 817 vspace{5cm}
 818 \layout Caption
 819
 820 Vibrational stability equation of state
 821 \begin_inset Formula \( S_{\mathrm{vib}}(\lg e,\lg \rho ) \)
 822 \end_inset
 823
 824 .
 825
 826 \begin_inset Formula \( >0 \)
 827 \end_inset
 828
 829  means vibrational stability.
 830 \begin_inset LatexCommand \label{FigVibStab}
 831
 832 \end_inset
 833
 834
 835 \end_float
 836 \layout Section
 837
 838 Conclusions
 839 \layout Enumerate
 840
 841 The conditions for the stability of static, radiative layers in gas spheres,
 842  as described by Baker's (
 843 \begin_inset LatexCommand \cite{baker}
 844
 845 \end_inset
 846
 847 ) standard one-zone model, can be expressed as stability equations of state.
 848  These stability equations of state depend only on the local thermodynamic
 849  state of the layer.
 850 \layout Enumerate
 851
 852 If the constitutive relations -- equations of state and Rosseland mean opacities
 853  -- are specified, the stability equations of state can be evaluated without
 854  specifying properties of the layer.
 855 \layout Enumerate
 856
 857 For solar composition gas the
 858 \begin_inset Formula \( \kappa  \)
 859 \end_inset
 860
 861 -mechanism is working in the regions of the ice and dust features in the
 862  opacities, the
 863 \begin_inset Formula \( \mathrm{H}_{2} \)
 864 \end_inset
 865
 866  dissociation and the combined H, first He ionization zone, as indicated
 867  by vibrational instability.
 868  These regions of instability are much larger in extent and degree of instabilit
 869 y than the second He ionization zone that drives the Cepheïd pulsations.
 870 \layout Acknowledgement
 871
 872 Part of this work was supported by the German
 873 \emph on
 874 Deut\SpecialChar \-
 875 sche For\SpecialChar \-
 876 schungs\SpecialChar \-
 877 ge\SpecialChar \-
 878 mein\SpecialChar \-
 879 schaft, DFG
 880 \emph default
 881  project number Ts\SpecialChar ~
 882 17/2--1.
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